☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle

Énoncé

Soit \(\text{ABC}\) un triangle (non aplati).
On note \(\text{A}'\) le milieu de \([\text{BC}]\), \(\text{B}'\) le milieu de \([\text{AC}]\) et \(\text{C}'\) le milieu de \([\text{AB}]\).
Soit \((d_\text{1})\) la médiatrice de \([\text{BC}]\), \((d_\text{2})\) la médiatrice de \([\text{AC}]\) et \((d_\text{3})\) la médiatrice de \([\text{AB}]\).

1. Faire une figure.
2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.
    a. Démontrer que cela implique que les droites \((\text{AC})\) et \((\text{BC})\) sont parallèles.
    b. En déduire que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes.
On appelle \(\text{O}\) le point d'intersection des droites \((d_1)\) et \((d_2)\) .
3. Démontrer que l'on a \(\text{OC}=\text{OA}=\text{OB}\).
4. Conclure.

Solution
1.

2.  On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.
    a. On sait que : 

• \((d_1)\) est perpendiculaire à \((\text{BC})\) par définition de la médiatrice d'un segment ;
  
• De, même \((d_2)\) est perpendiculaire à \((\text{AC})\) ;
  
• Par hypothèse \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.
  

On en déduit que \((d_1)\) est perpendiculaire à \((\text{AC})\). Or, \((d_1)\) est perpendiculaire à \((\text{BC})\).
Donc les droites \((\text{AC})\) et \((\text{BC})\) sont parallèles.
    b. Les droites \((\text{AC})\) et \((\text{BC})\) sont parallèles, ce qui signifie que les points \(\text{A}, \text{B}\) et \(\text{C}\) sont alignés.
Mais \(\text{ABC}\) est un triangle (non aplati), ce qui contredit le fait que \(\text{A}, \text{B}\) et \(\text{C}\) sont alignés.
On en déduit que notre hypothèse de départ "les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles" est fausse, donc \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes.
3. \(\text{O}\) appartient à \((d_1)\) donc \(\text{OB}=\text{OC}\). De même  \(\text{O}\) appartient à \((d_2)\) donc \(\text{OA}=\text{OC}\).
Donc \(\text{OB}=\text{OC}=\text{OA}\).

Remarque

Cette question justifie que les points \(\text{A}, \text{B}\) et \(\text{C}\) appartiennent au cercle de centre \(\text{O}\) et de rayon \(\text{OA}\), cercle circonscrit au triangle \(\text{ABC}\).

4. D'après la question précédente, on a \(\text{OB}=\text{OA}\), donc par propriété de la médiatrice, on en déduit que \(\text{O}\in (d_3)\).
On peut en déduire que le point \(\text{O}\) est le point de concours des trois médiatrices du triangle \(\text{ABC}\).